Sydsudan har siden landet opnåede uafhængighed i juli 2011 været ledet af den tidligere oprørsgruppe Det Sudanske Folks Befrielsesbevægelse (SPLM).
Præsident Bashir beskriver SPLM som "insekter", der skal udryddes, skriver BBC News.
Sammenstødene mellem Sudan og Sydsudan har nu spredt sig til flere områder, og det frygtes at kunne ende i en regulær krig mellem de to lande.
Sydsudan erobrede for otte dage siden det vigtige Heglig-oliefelt, og tirsdag udbrød kampe i den nordlige del af landet.
Det sydsudanske militær siger, at 22 soldater er blevet dræbt med ofre på begge sider.
Præsident Bashir siger i en tale ved partiets hovedkvarter, at det er nødvendigt at fjerne SPLM.
- Vi siger, at det er blevet til en sygdom, en sygdom for os og for det sydsudanske folk. Hovedmålet er at befri dem for disse insekter og blive fri for dem for altid, hvis Gud vil, siger Bashir.
Præsidentens besked til SPLM er, at "enten så ender vi i Juba (Sydsudans hovedstad red.) og tager det hele, eller også ender de i Khartoum (Sudans hovedstad red.) og tager det hele.
Analytikere vurderer præsidentens udmelding som en krigserklæring.
Efter præsident Bashirs udmelding opfordrer en sydsudansk minister til forhandlinger.
- Vi kan kun løse denne situation gennem samtaler med Den Afrikanske Union, siger informationsminister Barnaba Marial Benjamin.
De seneste sammenstød er de værste, siden Sydsudans uafhængighed sidste år efter to årtier med borgerkrig mellem præsident Bashirs regering og SPLM.
/ritzau/
Seneste artikler
Bent gør det ikke for priserne, men fik én alligevel
Guide til aktiviteter i efterårsferien
Omfattende strømafbrydelse ramte dele af Falster
Antallet af hjemløse stiger markant på Lolland
Løb efterårsferien ind med sørgebind
Mest læste artikler
Brand i sukkerfabrik
Tom bil på Farøbroen: Eftersøgning fortsætter mandag
Fundet livløs i rabatten: Cyklist fløjet til Rigshospitalet
Stjal 450.000 fra gymnastikfolk og tipsklub
Truede med at skyde bekendt: Fandt våben hos kvinde